Integración por partes: Ejercicios Resueltos y Pasos del método


A medida que vamos conociendo el maravilloso mundo del calculo integral, nos encontramos con el método de integración por partes que nos ayuda en gran medida a resolver las integrales de una manera rápida y efectiva.  A continuación aprenderás principalmente a como aplicar este método y en que momento. ¡Vamos por ello genios!

¿ Que es un método de Integración  dentro del calculo integral?

Hablamos de método en la medida que desarrollamos un conjunto de pasos concretos, para calcular la integral indefinida o definida  para cierta función.

Dicho de otra manera, los métodos de integración  son técnicas que facilitan  el trabajo para  calcular la antiderivada F(x) .

Definición de Integral

Dentro de estos métodos tenemos a los dos centrales que son : El Método por Sustitución y Método de integración por partes. En esta ocasión hablaremos del segundo.

Definición de la Integración por partes

Como todos sabemos el método de la integración por partes surge a partir de la derivada de un producto , es por ello que este método se usa especialmente cuando dos funciones están multiplicadas entre si. Por definición la integración por partes obedece a la formula :

Formula Integracion por partes

Es importante resaltar que escogeremos como dv  a aquella función que sea más facil de integrar, mientras que u sera la función que no tenga integral directa como por ejemplo las funciones logarítmicas e inversas.

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¿ Cuando aplicar el método de integración por partes?

Este método es valido cuando encontramos en nuestro ejercicio una función o dos del tipo ALPES.  Ustedes se preguntaras que son las funciones ALPES , para ello realizaremos un resumen practico sobre este tipo de funciones y así poder llegar a detectarlas en nuestros ejercicios  :

A ⇒ Arcoseno, Arcocoseno, Arcotangente, Arcosecante.

L ⇒ Logaritmos.

P ⇒ Potencias con exponente numérico.

E ⇒ Exponenciales.

S ⇒ Senos y Cosenos.

 

Lista de Integrales Simples

Antes de entrar en detalle respecto  a la resolución de las situaciones  problema, vamos a tomar apuntes respecto a las integrales simples que necesitaremos para la aplicación efectiva del  método de integración por partes.  Estas integrales son aquellas que admiten una primitiva simple como solución.

Tabla de Integrales Simples Tabla de integrales simples

Ejercicios Resueltos de Integración por partes

A continuación aplicaremos  el método de integración por partes, con su análisis respectivo al momento de escoger el método y la manera de como escogemos tanto a dv y u en el mismo. Para ello  haremos uso de la teoría que se  ha abordado hasta el momento, como también cada una de las integrales simples que se encuentran en la tabla anterior. No siendo más genios , vamos por ello.

 

Ejercicio 1

ejercicio de integrales por partes

Inicialmente observamos si la integral contiene funciones  dentro de las ALPES y efectivamente observamos que esta presente un función logarítmica y una función con exponente  potencia numérica.  Por ende el método de integración por partes se puede aplicar en este ejercicio.

Seguidamente procedemos a escoger dv y u. El cual el logaritmo sera nuestro u en la medida que de las dos funciones es el mas difícil de integrar.

solucion de integral xlnx

Por tanto al aplicar la integración por partes nos queda:

integrales por partes

Luego nos queda una integral directa , muy fácil de resolver:

integral por partes resuelto

Así,  finalmente llegamos a nuestra respuesta, haciendo uso del poderoso método de integración por partes:

respuesta final de la integral

Ejercicio 2

integral por partes con euler

En este caso escogeremos du y u como :

integral por partes euler 2

Aplicando la formula de integración por partes:

integral por partes con euler 3

integral por partes con euler 4

Seguidamente aplicamos de nuevo la integración por partes, en la medida que nos resulta al final una función compuesta por un producto y las funciones se encuentran dentro de las ALPES.

integral por partes con euler 5

Ahora bien aplicando nuevamente la sustitución por partes tenemos:

euler integral por partes

Finalmente analizamos como  en algunas ocasiones podemos llegar a aplicar las integrales por partes mas de una vez, en ese caso es importante saber escoger tanto el dv y el u , en la medida que nos resulte una integral mas sencilla que la anterior. Espero que este repaso de las integrales por partes les halla servido para aclarar las dudas que en el algunos libros de calculo no exponen.  Hasta la próxima genios.

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