▷ Suma, Resta, Multiplicación y División de Fraccionarios

La suma, resta , división y multiplicación de fraccionarios son las principales operaciones aritméticas que encontramos  a lo larga de nuestra vida académica y son la base para otras áreas del conocimiento. Estos serán los temas de estudio  en nuestro articulo , sin importar que se empleen fraccionarios homogéneos o heterogéneos  ,  hemos desarrollado métodos eficaces y fáciles de implementar  en los dos tipos de fracciones.

suma resta division y multiplicacion de fracciones

¿ Cuales son las partes de un Fraccionario?

partes de un fraccionario propio o impropio
numerador y denominador de una fracción

Los fraccionarios son los  números que se encuentran en el conjunto de los racionales (Q) , un ejemplo de ellos serían:

\[ \frac { 5 }{ 8 } ,\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad y\quad \frac { 14 }{ 67 } \]

. Dentro de sus partes encontramos:

El numerador es el numero que va en la parte de arriba y este indica las partes que se toman de la unidad.

El denominador es el numero que se encuentra en la parte de abajo y son las partes en las que está dividida la unidad.

¿ Que es un fraccionario Homogéneos y Heterogéneo?

fracciones homogeneas y heterogeneas

Antes de entrar en detalle en las operaciones aritméticas es importante definir lo que es una fracción homogénea y una fracción heterogénea.

La fracción heterogénea es la que tiene diferente denominador respecto a la otras fracciones, mientras que la fracción homogénea es aquella que tiene igual denominador respecto a las demás. Ejemplo :

\[ \frac { 5 }{ 14 } ,\quad \frac { 11 }{ 2 } \quad y\quad \frac { 5 }{ 6 } \]

son fracciones heterogéneas al tener su denominador diferente entre ellas , mientras que :

\[ \frac { 5 }{ 2 } ,\quad \frac { 11 }{ 2 } \quad y\quad \frac { 7 }{ 2 } \]

son fracciones homogéneas, al tener sus denominadores iguales en los tres  fracciones .

Como todos sabemos las fracciones homogéneas serán  mas fáciles de operar que las fracciones heterogéneas , en la medida que su proceso es mas corto.

¿ Como Sumar Fracciones de Igual y Diferente Denominador ?

La adicción de fracciones es un tema muy interesante , pero es importante tener claro los  conceptos anteriormente mencionados. Como son las partes del reaccionario y diferenciar fraccionarios  homogéneos de los heterogéneos.

Suma de Fracciones Homogéneas

Para sumar fraccionarios homogéneos (igual denominador) de manera fácil y rápida, haremos uso de la siguiente formula general :

\[ \frac { a }{ b } +\frac { c }{ b } =\quad \frac { a+c }{ b } \]

Suma de Fracciones Heterogéneos

Para sumar fraccionarios heterogéneos (diferente denominador) de manera fácil y rápida,  haremos  uso de la siguiente formula general : 

\[ \frac { a }{ b } +\frac { c }{ d } =\quad \frac { a*d+b*c }{ b*d } \]

 

Ejemplo 1:

Ahora bien, resolveremos  la suma de fraccionarios mediante un ejemplo, en el que adicionamos 1/3 + 2/9:

\[ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 9 } =\quad \frac { 1*9+3*2 }{ 3*9 } \\ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 9 } =\quad \frac { 9+6 }{ 27 } \\ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 9 } =\quad \frac { 15 }{ 27 } \]

Si queremos dar la respuesta de manera simplificada, simplemente sacamos la tercera parte del denominador que seria 9 y la tercera parte del numerador que seria 5, por tanto nuestra respuesta simplificada de la suma de fracciones seria:

\[ \frac { 5 }{ 9 } \]

Ejemplo 2:

En este ejemplo sumaremos un fraccionario con un número natural:

\[ \frac { 1 }{ 2 } +9= \]

En este caso debemos colocar al número natural un 1 imaginario de la siguiente manera y luego operar como si fuera una suma de fraccionario normal:

\[ \frac { 1 }{ 2 } +9=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 9 }{ 1 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +9=\quad \frac { 1*1+9*2 }{ 2*1 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +9=\quad \frac { 1+18 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +9=\frac { 19 }{ 2 } \]

Ejemplo 3:

El ultimo ejemplo que se desarrolla a continuación, trata de la suma de tres fraccionarios el cual mostramos la forma que se debe operar para lograr una practica y efectiva solución. Inicialmente se hace uso de la propiedad asociativa, logrando operar entre dos fracciones, para que después se logre disminuir la suma de fracciones . Una vez expresada la estrategia procedemos a operar:

\[ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\quad \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } \right) +\frac { 3 }{ 5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\left( \frac { 1*9+1*2 }{ 2*9 } \right) +\frac { 3 }{ 5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\left( \frac { 9+2 }{ 18 } \right) +\frac { 3 }{ 5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\left( \frac { 11 }{ 18 } \right) +\frac { 3 }{ 5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\frac { 11*5+3*18 }{ 18*5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\frac { 55+54 }{ 90 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 5 } \quad =\frac { 109 }{ 90 } \\ \\ \\ \\ \]

 

¿ Como Restar Fraccionarios de Igual y Diferente Denominador ?

Para la  sustracción de  fracciones se opera con el mismo método que se uso anteriormente con la suma , pero la diferencia radica en que el signo negativo ira en el centro o iniciando el fraccionario resultante, todo dependerá del fraccionario que lleva el signo (-) .

Resta de Fracciones Homogéneas

Para restar fraccionarios homogéneos (igual denominador) de manera fácil y rápida, se implementa la siguiente formula general :

\[ \frac { a }{ b } -\frac { c }{ b } =\frac { a-c }{ b } \]

 

Resta de Fracciones Heterogéneos

Para restar fraccionarios Heterogéneos (diferente denominador) de manera fácil y rápida, se implementa la siguiente formula general  :

Caso I

\[ \frac { a }{ b } -\frac { c }{ d } =\frac { a*d-b*c }{ b*d } \]

Caso II

\[ -\frac { a }{ b } +\frac { c }{ d } =\frac { -a*d+b*c }{ b*d } \]

Ejemplo 1:

Realizar la siguiente resta (1/3)-(3/5):

\[ \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 1*5-3*3 }{ 3*5 } \\ \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 5 } =\quad \frac { 5-9 }{ 15 } \]

Al ser el 9 mayor que el 5, tenemos un resultado negativo :

\[ \\ \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 5 } =\quad -\frac { 4 }{ 15 } \]

Ejemplo 2:

Restar los siguientes fraccionarios (-1/5)+(2/3):

\[ \\ -\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 2 }{ 3 } =\quad \frac { -1*3+5*2 }{ 5*3 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 2 }{ 3 } =\quad \frac { -3+10 }{ 15 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 7 }{ 15 } \]

Ejemplo 3:

Realizar la siguiente resta 5 -(1/2):

El siguiente paso es colocar el 1 imaginario en  el  5.

\[ \\ 5-\frac { 1 }{ 2 } =\quad \frac { 5 }{ 1 } -\frac { 1 }{ 2 } \]

Seguidamente , operamos con la formula de resta para fracciones heterogéneas :

\[ \\ 5-\frac { 1 }{ 2 } =\quad \frac { 5*2-1*1 }{ 1*2 } \\ 5-\frac { 1 }{ 2 } =\quad \frac { 10-1 }{ 2 } \\ 5-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \]

¿ Como Multiplicar Fracciones?

La multiplicación de fraccionarios es muy fácil , ya que este proceso se realiza multiplicando  denominadores y numeradores de frente . Dicho de otra forma multiplicamos numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. De manera general operamos de la siguiente forma:

\[ \frac { a }{ b } *\frac { c }{ d } =\quad \frac { a*c }{ b*d } \\ \frac { a }{ b } *c\quad =\quad \frac { a*c }{ b } \]

Ejemplo 1:

Multiplicar los siguientes fraccionarios (1/2) * (5/9):

\[ \frac { 1 }{ 2 } *\frac { 5 }{ 9 } =\quad \frac { 1*5 }{ 2*9 } \\ \frac { 1 }{ 2 } *\frac { 5 }{ 9 } =\quad \frac { 5 }{ 18 } \\ \]

Ejemplo 2:

Multiplicar 2 * (1/9) aplicando lo aprendido :

\[ 2*\frac { 1 }{ 9 } =\quad \frac { 2*1 }{ 9 } \\ 2*\frac { 1 }{ 9 } =\frac { 2 }{ 9 } \\ \]

Te puede interesar: Suma , resta , Multiplicación y División de números decimales . ★★★★★

¿ Como Dividir Fracciones?

Para la división de fracciones hacemos el uso de la siguiente regla para cualquier fracción. En el caso de que tengamos un número natural agregamos el 1 imaginario debajo del mismo, esto es muy importante revisarlo antes de empezar a operar . La regla general para la división de fracciones es la siguiente:

 

\[ \frac { a }{ b } \div \frac { c }{ d } =\quad \frac { a*d }{ b*c } \\ \frac { a }{ b } \div \quad c\quad =\quad \frac { a }{ b*c } \\ a\div \frac { b }{ c } =\frac { a*c }{ b } \]

Ejemplo :

Dividir los siguientes fraccionarios:

  • a) (1/2) dividido en (5/3).

Solución:

\[ \frac { 1 }{ 2 } \div \frac { 5 }{ 3 } =\quad \frac { 1*3 }{ 2*5 } \\ \frac { 1 }{ 2 } \div \frac { 5 }{ 3 } =\quad \frac { 3 }{ 10 } \]

En este caso multiplicamos en cruz 1×2 y luego 2×3 , para que finalmente nos resulte un fraccionario de la forma a/b , en el que si se presente el caso este puede ser simplificado o no. En este caso en el numerador segunda de 2-> 1 y segunda de 6-> 3 en el denominador.

  • b) (1/2) dividido en 8.

Solución:

\[ \frac { 1 }{ 2 } \div 8=\frac { 1 }{ 2*8 } \\ \frac { 1 }{ 2 } \div 8=\quad \frac { 1 }{ 16 } \]

Aquí el 8 pasa a tener un 1 imaginario dado que no tiene denominador alguno. Luego operamos en ruz 1×1 y 2×8. Finalmente vemos que nos queda 1/16, pero este no puede ser simplificado dado que esta en su mínima expresión.

 

Resumen de las operaciones entre Fraccionarios:

Resumen de las operaciones entre Fraccionarios

Espero que cada uno de los temas que tratamos en esta lección les haya servido para sus trabajos, hemos tratado de simplificar de la mejor manera posible cada uno de los temas para que  puedan entender la suma, la resta, la división y la multiplicación de fraccionarios .

Recuerden que siempre el éxito en las matemáticas radica en la práctica y la perseverancia, como también lograr llegar a un aprendizaje significativo en el que cada estudiante logre desarrollar de manera efectiva los diferentes tipos de pensamiento como son : Pensamiento numérico y sistemas numéricos, Pensamiento espacial y sistemas geométricos, Pensamiento métrico y sistemas de medidas, Pensamiento aleatorio y sistemas de datos y el Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Evaluación Final de Fraccionarios

Desarrollar las siguientes sumas y restas de fraccionarios:

evaluacion de suma y resta de fraccionarios

Desarrollar las siguientes multiplicaciones y divisiones de fraccionarios:

división y multiplicación de fracciones evaluación

Calculadora Online de Fraccionarios

A continuación encontraras una calculadora online en la que puedes comprobar los ejercicios que se dejaron en la Actividad anterior, recuerden aplicar la propiedad asociativa al momento de comprobar su resultado :

Calculadora Online de Fracciones

Espero que es gran resumen de operaciones con fracciones , les sirva para la preparación de sus examenes. Nos veremos en una próxima ocasión con más temas  de matemáticas , que tanto nos apasionan. ★★★★★ 

▷ Suma, Resta, Multiplicación y División de Fraccionarios
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Author: Equipo IG

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